vẽ hộ mk cái hình

a) Từ M, kẻ \(MJ\perp OO'\left(J\in AC\right)\)

Khi đó ta có \(\widehat{BMA}=\widehat{BMJ}+\widehat{JMA}=\widehat{BCM}+\widehat{ADM}\)

\(=\frac{\widebat{AD}-\widebat{AM}}{2}+\frac{\widebat{AM}}{2}=\frac{\widebat{AD}}{2}=\widehat{AMD}\)

Vậy MA là tia phân giác góc \(\widehat{BMD}\)

b) Xét tam giác AMB và DMA có:

\(\widehat{BAM}=\widehat{ADM}\left(=\frac{\widebat{AM}}{2}\right)\)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMA}\left(cma\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AMB\sim\Delta DMA\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AM}{MD}=\frac{MB}{AM}\Rightarrow AM^2=MD.MB\)

a: góc HCB+góc HEB=180 độ

=>HCBE nội tiếp

Xét ΔACH vuông tại C và ΔAEB vuông tại E có

góc CAH chung

=>ΔACH đồng dạng với ΔAEB

=>AC/AE=AH/AB

=>AC*AB=AE*AH

b: góc IDH=1/2*sđ cung DB

góc IHD=90 độ-góc AMH=1/2*sđ cung DB

=>góc IDH=góc IHD

=>ΔIHD cân tại I

b) Ta có: M là trung điểm của cạnh huyền BC

⇒ MA = MB = MC

⇒ ΔMAB cân tại M ⇒ ∠(MAB ) = ∠(MBA )

Lại có: ΔOAB cân tại O ⇒ ∠(OAB ) = ∠(OBA )

⇒ ∠(MAB ) + ∠(OAB ) = ∠(MBA ) + ∠(OBA ) ⇔ ∠(MAO ) = ∠(MBO) = 90 0

⇒ MA là tiếp tuyến của (O)

Chứng minh tương tự: MA là tiếp tuyến của (O')

Vậy MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O')

( mấy cái cơ bản thì tự viết nhé )

a) góc MAO và góc MBO= 90 độ

xét tứ giác MAOB có góc MAO+MBO=180 độ

=> MAOB nội tiếp

b) Xét (O) có EB là tiếp tuyến của (O)

\(\Rightarrow\widehat{EBD}=\widehat{EAB}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{DB}\right)\)

Xét tam giác EDB và tam giác EBA có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{AEB}chung\\\widehat{EBD}=\widehat{EAB}\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta EDB~\Delta EBA\left(g-g\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{BE}{DE}=\frac{AE}{BE}\)

\(\Rightarrow BE^2=AE.DE\left(1\right)\)

Vì \(AC//MB\Rightarrow\widehat{ACM}=\widehat{DME}\left(SLT\right)\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{ACM}=\widehat{ABD}\left(=\frac{1}{2}sđo\widebat{AD}\right)\\\widehat{ABD}=\widehat{MAD}\left(=\frac{1}{2}sđo\widebat{AD}\right)\end{cases}\Rightarrow\widehat{ACM}=\widehat{MAD}}\)

\(\Rightarrow\widehat{DME}=\widehat{MAD}\)

Xét tam giác EMD và tam giác EAM có: 

\(\hept{\begin{cases}\widehat{DME}=\widehat{MAD}\\\widehat{AME}chung\end{cases}}\Rightarrow\Delta EMD~\Delta EAM\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{ME}{DE}=\frac{AE}{ME}\)

\(\Rightarrow ME^2=DE.AE\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow BE=ME\left(đpcm\right)\)

c)  mai nốt :V

c) El à trung điểm MB;H là trung điểm AB

-> EH là đường trung bình tam giác MAB

=> EH// MA

=> góc EHB= góc MAB ( đồng vị )

Mà góc MAB = góc AKB ( = 1/2 số đo cung AB )

=> góc EHB= góc AKB

mà góc EHB+ góc IHB = 180 độ

=> góc AKB + góc IHB = 180 độ

=> BHIK nội tiếp

=> góc BHK= BIK  mà góc BHK= 90 độ

=> góc BIK= 90 độ

=> AK vuông góc với BI 

a) Gọi AM cắt (O₂) tại N khác M. Khi đó: Dễ thấy: ^MFE=^MNE = ^MO₂E/2 = ^MO₁J/2 = ^MAJ

=> ^MFI = ^MCI (Do ^MAJ = ^MCI) => Tứ giác MCFI nội tiếp => ^JAM = ^MCI = ^MFI = ^MEB hay ^JAM = ^JEA

Từ đó: \(\Delta\)JAM ~ \(\Delta\)JEA (g.g) => JA² = JM.JE (1)

Ta có: ^JIM = ^CIM = ^CFM = ^FEM => \(\Delta\)JIM ~ \(\Delta\)JEI (g.g) => IJ² = JM.JE (2)

Từ (1);(2) suy ra: JA² = IJ² = JM.JE => \(JA=IJ=\sqrt{JM.JE}\) (đpcm).

b) Gọi Cx là tia đối tia CA. Ta có đẳng thức về góc: ^ICx = ^JCA = ^JMA = ^JAB (Vì \(\Delta\)JAM ~ \(\Delta\)JEA)

=> ^ICx = ^JAB = ^ICB => CI là tia phân giác ^BCx hay CI là tia phân giác ngoài tại C của \(\Delta\)ABC (đpcm).

c) Ta thấy: \(\Delta\)IKC ~ \(\Delta\)IJA, JA = JI (cmt) => KI = KC (3)

Theo câu b thì ^JAB = ^JCA = ^JBA => \(\Delta\)ABJ cân tại J => JA = JB = JI => \(\Delta\)IJB cân tại J

=> ^CBI = ^JBI - ^JBC = (180⁰ - ^IJB)/2 - ^JBC = (180⁰ - ^IJB - 2.^JBC)/2 = (180⁰ - ^BAJ - ^JBC)/2

= (^ACB + ^JBA - ^JAC)/2 = (^ACB + ^BAC)/2 => BI là phân giác ^CBE.

Từ đó I là tâm bàng tiếp ứng đỉnh A của \(\Delta\)ABC => AI là phân giác ^BAC

Do vậy, K là điểm chính giữa cung BC không chứa A của (O₁) => KC = KB (4)

Từ (3);(4) suy ra: KB = KC = KI => K là tâm ngoại tiếp \(\Delta\)BCI (đpcm).